3.0 SISTEM PENGANGKAAN ATAU SISTEM NOMBOR

3.0 Sistem pengangkaan atau sistem nombor

Angka ialah suatu simbol atau kelompok simbol, atau suatu perkataan dalam bahasa tabii yang melambangkan nombor. Angka berbeza dengan nombor seperti mana perkataan berbeza daripada benda-benda yang dimaksudkannya. Simbol-simbol "11", "sebelas" dan "XI" merupakan angka yang berbeza tetapi kesemuanya melambangkan nombor yang sama.

Sistem angka (atau sistem pengangkaan) ialah sejenis rangka kerja yang mana satu set nombor dilambangkan melalui angka secara konsisten. Sistem angka boleh dilihat sebagai konteks yang membolehkan angka "11" ditafsir sebagai angka perduaan untuk tiga, angka perpuluhan untuk sebelas, atau mana-mana nombor lain dalam asas-asas berbeza.

Secara ideal, sesuatu sistem angka mesti:

• Menggambarkan satu set nombor yang berguna (contohnya, semua angka bulat, integer, atau nombor nyata)
•  Memberi setiap nombor yang dilambangkan dengan perlambangan yang unik (atau sekurang-kurangnya gambaran yang piawai)
•  Mencerminkan struktur algebra dan aritmetik nombor-nombor

   Contohnya, gambaran perpuluhan yang lazim bagi nombor bulat memberikan satu perlambangan yang unik setiap satu nombor bulat sebagai susunan urutan digit yang terhingga, dengan adanya operasi-operasi aritmetik (penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian) sebagai algoritma piawaian bagi aritmetik.

Nombor ialah satu entiti abstrak yang mewakili hitungan atau ukuran. Simbol untuk nombor dipanggil angka. Dalam penggunaan biasa, angka sering digunakan sebagai label (penomboran rumah), penunjuk susunan (nombor bersiri), dan kod (ISBN). Dalam bidang matematik, takrif nombor telah diperluas untuk merangkumi keabstrakan seperti pecahan, nisbah, serta nombor-nombor negatif, transenden, dan kompleks.

Operasi-operasi aritmetik untuk nombor, seperti penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian, dibuat lebih umum dalam cabang matematik yang dikenali sebagai algebra niskala. Algebra niskala ialah kajian tentang sistem-sistem nombor abstrak, seperti kumpulan, gelanggang dan medan.

Matematik banyak merujuk kepada nombor dan angka. Nombor ialah simbol yang digunakan untuk menyatakan bilangan atau kuantiti. Nombor berada dalam bentuk yang abstrak. Nombor tidak boleh dilihat dan dipegang. Nombor ditulis dengan menggunakan simbol atau lambang yang dinamakan angka. Mengikut sejarah, pada zaman dahulu terdapat beberapa sistem pernomboran seperti Sistem Pernomboran Awal, Sistem Pernomboran Hindu-Arab,. Dibawah Sistem Pernomboran Awal pula terdapat Sistem Pernomboran Gundalan, Sistem Pernomboran Mesir, Sistem Pernomboran Roman, Sistem Pernomboran Mayan dan Sistem Pernomboran Babylonian.

3.1 Sistem pengangkaan purba

Di bawah sistem pengangkaan Purba terdapat beberapa sistem pengangkaan yang lain seperti sistem pengangkaan Mesir, Babylon, Mayan, Roman dan Hindu-Arab.

3.1.1 Sistem pengangkaan Mesir

Sistem pengangkaan Mesir merupakan sejenis sistem angka yang telah digunakan pada zaman Mesir Purba. Sistem angka ini telah dicipta sekitar tahun 3400 SM dan ditemui pada lakaran dinding monumen. Nombor juga ditemui tercatat pada barang-barang tembikar, kepingan logam, batu kapur & kulit kayu papyrus. (Rujuk gambarajah 3.0)

Gambarajah 3.0 Nombor yang terdapat pada kulit kayu papyrus.

Sistem angka Mesir melibatkan gambar. Orang Mesir menggunakan sistem pernomboran bertulis yang berubah menjadi tulisan hieroglif, yang  membolehkan mereka merekodkan bilangan nombor bulat sehingga 1,000,000.

Sistem ini mempunyai asas perpuluhan dan membolehkan prinsip aditif (penambahan). Ia merupakan satu sistem angka perpuluhan (asas 10), sering dibundarkan kepada nilai yang lebih tinggi. Sistem angka Mesir ditulis dalam huruf Hieroglif dan tidak mempunyai nombor sifar. (Rujuk gambarajah 4.0)

Gambarajah 4.0 Sistem angka Mesir ditulis dalam huruf Hieroglif

Sistem angka Mesir juga turut memperkenalkan prinsip darab (prinsip pengulangan).

Gambarajah 5.0 Contoh  Gambar  Angka Sistem Mesir

          Sistem penulisan nombor Mesir kuno ditulis dari kanan ke kiri. Cara penulisan ini masih kekal digunakan sehingga ke hari ini namun simbol yang digunakan telah diubah mengikut kesesuaian semasa. Sistem nombor Mesir kuno digunakan oleh masyarakat pada zaman itu bagi menyelesaikan masalah harian mereka. Sistem nombor bagi masyarakat Mesir kuno mempunyai daya tarikan yang tersendiri. Walaupun sistem nombor ini tidak diaplikasikan lagi, namun ia tetap menjadi asas perkembangan sistem nombor masyarakat Mesir pada hari ini.

        Tambahan pula,  sistem pengangkaan Mesir  digunakan untuk  menentukan masa,  membuat garisan lurus, mengira keluasan tanah, mengukur paras ketinggian Sungai Nil yang melimpah akibat banjir dan untuk menentukan bilangan hari dalam setahun.

       Selain itu, sistem penomboran Mesir masih digunakan sehingga hari ini dalam beberapa konsep seperti konsep pecahan. Pada waktu itu, kaedah pecahan hanya diaplikasikan dalam bentuk unit pecahan 1/n sahaja seperti ½, atau ¼. Tidak seperti hari ini, masyarakat Mesir menggunakan unit pecahan seperti ¾ dan 4/5. Namun demikian, mereka turut berkebolehan untuk membuat operasi penambahan sungguhpun mempunyai penyebut yang berbeza.

                     

Gambarajah 6.0 Contoh  Gambar  Angka Sistem Mesir Menggunakan konsep pecahan

Di samping itu, satu lagi sistem nombor, yang orang-orang Mesir yang digunakan selepas ciptaan bertulis pada papyrus, adalah terdiri daripada angka Hieratik. Angka ini membenarkan nombor yang perlu ditulis dalam bentuk yang jauh lebih padat lagi menggunakan sistem yang dikehendaki simbol yang lebih banyak untuk diingat.

            Gambarajah 7.0 Contoh  Gambar  Angka Hieratik

                                                                                                  

 

Gambarajah 8.0 Contoh Simbol bagi Angka Hieratik boleh ditulis mengikut mana-mana arah

3.1.2 Sistem pengangkaan Mayan

Budaya tamadun Mayan dibina berdasarkan sistem angka atau nombor. Mereka menyusun nombor untuk menandakan nilai tempat berbeza. Angka Maya merupakan satu sistem angka perduapuluhan ( asas - dua puluh) yang digunakan oleh Tamadun Maya Pra-Columbus. Angka Maya terdiri daripada tiga symbol. Simbol yang pertama ialah sifar (berbentuk cengkerang), (Rujuk gambarajah 9.0)

Gambarajah 9.0 Sifar yang berbentuk cangkerang

Simbol yang keduanya ialah satu mewakilkan satu titik  dan lima mewakilkan satu baris. Sebagai contoh, sembilan belas (19) ditulis sebagai empat titik di atas 3 tindanan baris melintang.

                                   

Gambarajah 10.0 Simbol  yang mewakilkan satu kepada satu titik  dan lima mewakilkan satu baris

Selain dari simbol titik dan baris, angka Maya juga boleh digambarkan dengan lambang glif wajah atau gambar. Glif wajah bagi sesebuah nombor mewakili dewa dewi yang dikaitkan dengan nombor tersebut. Nombor glif wajah ini sangat jarang digunakan, dan kebanyakannya cuma boleh ditemui pada ukiran monumen yang rumit.

Sistem mayan dikira dari bawah 1 , 20(20), 360 ( 20.18), 7200 ( 20.18.20) , 14400 ( 20.18.20.20 ). Sistem asas 10 mempunyai nilai tempat seperti  1 , 10¹ , 10² , 10³ . Manakala, sistem asas 20 mempunyai nilai tempat seperti 1 , 20¹ , 20² , 20³.

3.1.3  Sistem pengangkaan Babylon

Angka Babylon ialah sejenis sistem angka yang digunakan pada zaman kerajaan Babylon (1894 - 1530 SM) di Mesopotamia. Ia ditulis dalam bentuk tulisan kuneiform yang berbentuk baji. Orang Babylon yang sangat terkenal dengan pengetahuan mereka tentang ilmu astronomi, menggunakan sistem angka kedudukan perenampuluhan (asas 60) yang diwarisi dari tamadun Sumeria dan Akkadia.

Sistem ini pertama kali muncul sekitar 3100 SM. Ia mendapat kredit sebagai sistem angka kedudukan yang pertama diketahui wujud, di mana nilai digit tertentu bergantung pada digit itu sendiri dan kedudukannya di dalam nombor. Ini merupakan satu perkembangan penting, kerana sistem yang tidak memiliki nilai kedudukan memerlukan simbol unik mewakili setiap kuasa asas (sepuluh, seratus, seribu, dan seterusnya), menyebabkan pengiraan menjadi sukar.

Hanya dua simbol ( untuk mengira unit dan  untuk mengira puluh) digunakan untuk menanda 59 digit bukan sifar. Simbol-simbol ini dan nilainya digabungkan untuk membentuk digit dengan caratatatanda nilai tunggal, sama seperti angka Rumi; contohnya, gabunganmewakili nombor digit untuk 23. Satu ruang ditinggalkan untuk menanda kedudukan yang tidak mempunyai nilai, sama seperti nombor sifar moden. 

Orang Babylon kemudiannya mereka satu tanda untuk mewakili kedudukan kosong ini. Oleh kerana mereka kekurangan simbol untuk menjalankan fungsi titik radiks, maka nilai tempat untuk unit perlu ditentukan berdasarkan konteks:  boleh mewakili 23 atau 23×60 atau 23×60×60 atau 23/60, dan sebagainya.

  

Dalam sistem pengangkaan Babylon, orang Babylon tidak memiliki digit atau konsep bagi nombor sifar. Apa yang orang Babylon miliki hanyalah satu ruang (dan kemudiannya satu simbol tanda tempat ) untuk menanda ketidakwujudan satu digit dalam satu nilai tempat yang tertentu.tidak mempunyai simbol ‘  0  ‘.

Mereka juga menggunakan pecahan, kuasa dua, punca kuasa dua, kuasa tiga serta punca kuasa tiga. Orang Babylon juga perpengetahuan dalam penggunaan formula kuadratik dan mereka dapat menyelesaikan masalah algebra secara lisan.

3.1.4 Sistem pengangkaan Roman

Angka Rumi atau angka Roman ialah sistem angka Rom Kuno yang berdasarkan huruf-huruf abjad Rumi yang digabungkan untuk menunjukkan jumlah nilai. Antara sumbangan masyarakat Rom ialah pengenalan nombor atau angka Roman. Mereka membina sistem nombor atau angka menggunakan huruf daripada simbol-simbol isimewa. Sepuluh angka Rumi yang utama adalah I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,X.

Sistem angka Rumi adalah berbentuk perpuluhan dan tidak mempunyai angka sifar. Sistem ini berkait rapat dengan angka Etruscan dan huruf-hurufnya diambil dari simbol-simbol bukan abjad terawal; lama kelamaan orang Rom menukar simbol-simbol ini dengan huruf-huruf dari abjad Latin. Sistem angka Rumi yang digunakan pada hari ini adalah hasil perubahan yang dibuat pada zaman pertengahan.

Angka Rumi biasanya digunakan dalam senarai yang dinomborkan (seperti garis bentuk format untuk sesebuah rencana), muka jam, muka surat yang mendahului badan utama buku, bulan dalam setahun, di belakang nama waris pemimpin politik dan monarki yang mempunyai nama yang sama, dan penomboran acara tahunan.

Bagi berkomunikasi dan pengajaran sistem nombor atau angka, orang Rom telah menekap nombor di tanah liat dengan kayu pada sudut yang berbeza dan dibakar. Sistem angkanya masih digunakan sehingga sekarang walaupun telah mengalami perubahan dari masa ke semasa. Sistem penomboran rom dibina dengan sistem perpuluhan.

Berikut adalah beberapa angka Rumi moden, selepas zaman Victoria:

Piawai	Arab	Nota
tiada	0	N pernah digunakan sekurang-kurangnya sekali oleh Bede sekitar 725.
I	1
II	2
III	3
IV	4	IIII masih digunakan di jam dan permukaan kad tarot.
V	5	IIIII jarang digunakan pada zaman pertengahan.
VI	6
VII	7
VIII	8	IIX jarang digunakan pada zaman pertengahan.
IX	9
X	10	VV jarang digunakan pada zaman pertengahan.
XI	11
XII	12
XIII	13
XIV	14
XV	15
XVI	16
XVII	17
XVIII	18
XIX	19
XX	20
XXI	21
XXV	25
XXX	30
XXXV	35
XL	40
XLV	45
XLIX	49	Berdasarkan prinsip subtraktif seperti dinyatakan di atas, IL tidak diterima.
L	50
LX	60
LXIX	69
LXX	70
LXXVI	76
LXXX	80
XC	90
XCIX	99
C	100
CL	150
CC	200
CCC	300
CD	400
D	500
DC	600
DCLXVI	666
DCC	700
DCCC	800
CM	900
M	1,000
MCDXLIV	1,444	Nombor pandigital terkecil (setiap simbol digunakan)
MDCLXVI	1,666	Nombor pandigital efisien terbesar (setiap simbol muncul sekali sahaja)
MDCCCLXXXVIII	1,888	Nombor terpanjang apabila ditulis (tanpa gandaan M)
MCMXC	1,990	Ringkasan seperti XMM dan MXM bertentangan dengan prinsip subtraktif
MCMXCVII	1,997
MCMXCIX	1,999	Ringkasan seperti IMM dan MIM bertentangan dengan prinsip subtraktif
MM	2,000
MMI	2,001
MMIX	2,009
MMD	2,500
MMM	3,000
IV	4,000	Kadang-kadang menjadi MMMM atau MV
V	5,000
VMDCLXVI	6,666	Nombor ini menggunakan setiap simbol sehingga V sekali.
X	10,000
L	50,000
C	100,000
D	500,000
M	1,000,000

Kaedah menulis angka Rumi dengan tepat adalah dengan mencatat mengikut urutan ribu, kemudian ratus, kemudian puluh, kemudian sa.  Contoh: nombor 1988. Satu ribu adalah M, sembilan ratus adalah CM, lapan puluh adalah LXXX, lapan adalah VIII. Digabungkan: MCMLXXXVIII.

3.2    Sistem pengangkaan Hindu-Arab

Sistem angka Hindu-Arab atau sistem angka Hindu ialah sistem angka kedudukan persepuluh yang dibangunkan pada kurun ke-9 oleh ahli matematik India, diadaptasi ahli matematik Parsi (Al-Khawarizmi dalam buku tentang pengiraan dengan angka Hindu yang ditulis sekitar 825M) dan ahli matematik Arab (Al-Kindi menerusi bukunya tentang penggunaan angka India keluaran 830M), dan kemudiannya tersebar ke dunia barat pada zaman Pertengahan.

Sistem Pernomboran Hindu-Arab dipanggil Sistem Pernomboran Perpuluhan kerana menggunakan sepuluh simbol asas. Prinsip penomboran hindu-arab ialah pengumpulan   “sepuluh-sepuluh” ( sistem perpuluhan) dan dinamakan sistem asas sepuluh. Mereka menggunakan hanya sepuluh simbol yang disebut digit ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ). Digit  bermaksud “jari kaki” atau “jari tangan”.

Simbol (glif) yang digunakan untuk mewakili sistem ini pada dasarnya adalah berkembang di luar sistem itu sendiri. Glif yang digunakan berasal dari angka Brahmi, dan telah berkembang menjadi pelbagai variasi tipografi semenjak zaman Pertengahan.

Set-set simbol ini boleh dibahagikan kepada tiga keluarga yang utama, angka India yang digunakan di India, angka Arab timur yang digunakan di Mesir dan Timur Tengah, dan angka Arab barat yang digunakan di Maghreb dan di Eropah.

Terdapat pelbagai set simbol yang digunakan untuk mewakili nombor dalam angka Hindu-Arab, yang kesemuanya berevolusi dari angka Brahmi. Sejak zaman pertengahan, set simbol dalam sistem ini telah berkembang menjadi pelbagai variasi tipografi, dan boleh dibahagikan ke dalam tiga kumpulan:

1)       Angka Arab barat yang telah tersebar luas dan digunakan dengan abjad Latin, abjad Cyril dan abjad Greek dalam jadual di bawah yang diberi label "Eropah". Ia berasal dari "angka Arab barat " yang dibangunkan di al-Andalus dan Maghreb.

2)       Angka Arab timur yang digunakan dengan abjad Arab, dipercayai mula berkembang dari kawasan yang sekarang dalam Negara Iraq. Variasi angka Arab timur juga terdapat dalam Urdu dan Parsi. Terdapat beberapa variasi dalam penggunaan glif untuk digit Arab timur terutamanya untuk digit empat, lima, enam, dan tujuh.

3)       Angka India yang digunakan dengan aksara dari keluarga Brahmik di India dan Asia Tenggara.

Arab Barat	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Hindu-Arab	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
Arab Timur (Parsi dan Urdu)	۰	۱	۲	۳	۴	۵	۶	۷	۸	۹
Devanagari (Hindi)	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Tamil		௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯

Gambarajah 12.0 Set simbol

Dalam sistem pengangkaan Hindu-Arab, mereka mengetahui persamaan kuadratik yang mempunyai dua kaedah penyelesaian. Kebanyakkan astronomi menggalakkan masyarakat ini mempelajari trigonometri. menerangkan persamaan kuadratik dan juga penyelesaian algebra melalui geometri.

3.3  Rumusan

Sebenarnya asal-usul sistem nombor yang kita gunapakai sekarang masih lagi tidak dapat dipastikan kesahihan dan malah terdapat banyak keraguan. Namun teori yang paling banyak sekali diterima adalah ia berasal dari India pada kurun ke-3 sebelum Masihi, dibawa ke Baghdad pada kurun ke-8 dan kemudian diperkenalkan kepada dunia Barat. Penulisan sistem nombor ini muncul di India sebelum Zaman Kristian muncul lagi. Salah satu contoh rekod terawal sistem angka yang kekal  sehingga sekarang adalah ia ditemui di dalam gua di Bukit yang dipanggil Nana Ghat berdekatan dengan Bombay. Ia dipahat dan diintepretasikan.

Kemudian pengesanan penting bagi angka ialah angka Brahmi. Bagi sistem angka Brahmi, ia telah ditambah dengan angka 3, 5 dan 8. Bentuk tulisan juga mempunyai sedikit kelainan. Ia telah Kemudian pada kurun ke-8, angka yang digunakan adalah angka “Devanagari” atau “suci”.dan karaktor tulisan adalah seperti berikut dijumpai dalam bentuk inskripsi ukiran di Nasik, India yang dipercayai telah diukir pada kurun ke-2. Berikut adalah angka Brahmi yang mempunyai sembilan simbol.

Pada zaman kegemilangan Arab, mereka memperkenalkan pula kepada tulisan lebih hampir kepada bentuk tulisan moden. Ia dikenal sebagai angka Gobar, berasal dari perkataan Arab yang bermaksud “debu”.

 Apabila semakin hampir kepada sistem tulisan angka moden, manuskrip Eropah tertua yang dicatatkan ayng dikatakan mengandungi angka Hindu-Arabic adalah Colex Vigilanus, ditulis di Sepanyol pada tahun 976. Sebanyak sembilan simbol juga digunakan.